Trasformări geometrice

Translaţia

Translaţia unei figuri geometrice reprezintă mişcarea tuturor componentelor ei pe o anumita distanţă si direcţie. Această transformare poate fi uşor caracterizată de un vector v = (dx, dy). Când vrem să translatăm un punct P(x, y) după v, e de ajuns să facem operaţia P’ = P + v. Astfel, P’ are cooronatele (x + dx, y + dy).

Proprietăţi:

• păstrează distanţele;
• pastrează orientarea poligoanelor (adică, dacă vârfurile poligonului sunt parcurse în ordine trigonometrică, atunci vârfurile corespondente din poligonul transformat vor fi şi ele în ordine trigonometrică);
• păstrează unghiurile;
• o dreaptă va fi transformată în altă dreaptă paralelă cu prima;
• înafară de translaţia trivială de vector v = (0, 0), această transformare nu are puncte fixe (adică orice punct va fi transformat într-un punct diferit);
• translaţii successive vor rezulta tot într-o translaţie (adică, dacă vrem să translatăm un punct dupa v şi apoi după v₁, atunci obţinem acelaşi rezultat dacă translatăm direct după v + v₁);
• translaţia este comutativă;

Simetria

Există două tipuri de simetrii: simetria faţă de un punct şi simetria faţa de o dreaptă.

Un punct A îl are simetric pe A’ faţă de un punct O, dacă segmentul AA’ are ca mijloc punctul O. Dacă avem un punct (x₀, y₀) căruia vrem să îi aflăm simetricul faţă de un punct de coordonate (x, y) atunci acesta va fi (2x – x₀, 2y – y₀).

Proprietăţi:

• păstrează distanţele;
• păstrează orientarea poligoanelor (adică, dacă varfurile poligonului sunt parcurse în ordine trigonometrică, atunci vârfurile corespondente din poligonul transformat vor fi şi ele în ordine trigonometrică);
• păstrează unghiurile;
• drepte paralele vor fi transformate în drepte paralele;
• are ca punct fix punctul O, iar drepte fixe cele care trec prin punctul O;
• simetrii succesive după centre diferite O₁(x₁, y₁) O₂(x₂, y₂) sunt o translaţie de vector v = 2(x₂ – x₁);
• simetriile după un punct nu comută;

Să calculăm simetricul unui punct P(x₀, y₀) faţă de o dreaptă de ecuaţie ax + by + c = 0. Notăm cu d distanţa de la punctul P la dreaptă, , şi cu (m₁, m₂)cosinii directori ai vectorului n(a, b) normal la dreaptă. Valorile cosinilor directori sunt:  şi . Vom alege semnul minus dacă ax₀ + by₀ + c > 0 iar semnul plus dacă ax₀ + by₀ + c < 0. Astfel, simetricul punctului P va avea coordonatele (x₀ + 2*d*m₁, y₀ + 2*d*m₂).

Proprietăţi:

• păstrează distanţele;
• nu păstrează orientarea poligoanelor (adică, dacă varfurile poligonului sunt parcurse în ordine trigonometrică, atunci vârfurile corespondente din poligonul transformat vor fi în sens orar);
• păstrează unghiurile;
• drepte paralele vor fi transformate în drepte paralele;
• are ca puncte fixe dreapta de simetrie;
• simetrii succesive după drepte paralele sunt o translaţie;
• simetrii succesive după drepte concurente sunt rotaţii;
• simetriile nu comută;

Rotaţia

Aceasta este o transformare care roteşte punctele în sens trigonometric în jurul unui punct numit centru de rotaţie după un unghi fixat numit unghi de rotaţie. Dacă avem rotaţia de centru O(x₀, y₀) şi unghi alfa, atunci imaginea unui punct P(x, y) va fi P’(x₀ + (x – x₀) * cos(alfa) - (y – y₀) * sin(alfa), y₀ + (x – x₀) * sin(alfa) + (y – y₀) * cos(alfa)).

Proprietăţi:

• păstrează distanţele;
• păstrează orientarea poligoanelor;
• păstrează unghiurile;
• drepte paralele vor fi transformate în drepte paralele;
• dacă nu este o rotaţie trivială de unghi 0 atunci are ca punct fix centrul de rotaţie;
• nu are drepte fixe, dar are cercuri fixe centrate în centrul de rotaţie;
• două rotaţii succesive R₁(O₁, alfa) şi R₂(O₂, beta) se compun într-o translaţie sau o rotaţie R₃(O₃, alfa + beta);
• în general rotaţiile nu comută;

Omotetia

Aceasta este o transformare ce scalează obiectele în funcţie de un centru de omotetie şi un raport. Un punct P(x, y) transformat după o omotetie H(O(x₀, y₀), k) (centru O şi raport k) va avea imaginea P’(x₀ + k * (x - x₀), y₀ + k * (y - y₀)).

Proprietăţi:

• nu păstrează distanţele;
• păstrează orientarea poligoanelor;
• păstrează unghiurile;
• drepte paralele vor fi transformate în drepte paralele, iar transformata unei drepte va fi paralelă cu dreapta;
• are ca punct fix centrul de omotetie;
• două omotetii succesive H₁(O₁, k₁) şi H₂(O₂, k₂) se compun într-o translaţie sau omotetie H₃(O₃, k₁ + k₂);
• în general omotetiile nu comută;