sâmbătă, 7 martie 2015

Exerciții fizice

Exercitii fizice recomandate tuturor


De cele mai multe ori, solutiile simple sunt si cele mai eficiente. Acelasi principiu se afla si la baza exercitiilor fizice de mai jos, care lucreaza intens musculatura corpului, accelereaza metabolismul, stimuleaza eliminarea toxinelor din organism si ajuta la obtinerea unei forme fizice optime.
1. Antrenamentul cu intervale
In topul listei celor mai eficiente exercitii fizice se afla antrenamentul cu intervale, care imbunatateste rapid si pe termen lung conditia fizica, ajuta la arderea unui numar mai mare de calorii si faciliteaza pierderea in greutate. Ideea de baza este sa variati intensitatea efortului in timpul antrenamentului, in loc sa mentineti un ritm constant.
Indiferent de tipul de efort pe care il faceti (alergati pe banda, dansati, sariti sau faceti jogging), accelerati ritmul la un moment dat si mentineti-l astfel cateva minute, apoi reveniti la ritmul initial si continuati astfel 10 minute.
Durata fiecarui interval variaza in functie de lungimea fiecarui antrenament si de timpul de recuperare necesar fiecaruia. Intervalele trebuie sa se repete de mai multe ori in timpul sesiunii de sport, astfel incat sa se obtina rezultatele asteptate.
2. Genuflexiunile
Cunoscute de toata lumea inca de la orele de sport din scoala, genuflexiunile raman unele dintre cele mai eficiente exercitii fizice din cate s-au inventat. Motivul este simplu acestea solicita mai multe grupe de muschi simultan (cvadricepsii, muschii coapselor si muschii fesieri).
Eficacitatea genuflexiunilor depinde exclusiv de masura in care exercitiul este efectuat corect. Este necesar sa mentineti picioarele departate la nivelul umerilor si spatele drept. Indoiti genunchii si lasati posteriorul in jos, de parca ati dori sa va asezati pe un scaun imaginar. Genunchii trebuie sa fie in permanenta paraleli cu gleznele.
Pentru a va asigura ca efectuati genflexiunile corect, apelati la urmatorul truc asezati un scaun in spatele dumneavoastra si lasati-va trunchiul in jos, pana atingeti sezutul. Ridicati-va in picioare si coborati pana la nivelul scaunului, dar fara sa il atingeti de aceasta data acesta este nivelul la care trebuie sa va indoiti genunchii de fiecare data, pentru a executa genuflexiunile corespunzator.
3. Fandarile
La fel ca genufluexiunile, fandarile lucreaza intens toate grupele mari de muschi de la nivelul inferior al corpului. De asemenea, aceste exercitii fizice eficiente ajuta la imbunatatirea echilibrului corporal.
Faceti un pas mare inainte, mentinand spatele perfect drept. Indoiti genunchiul piciorului din fata la 90 de grade si tineti piciorul din spate perfect intins. Flexati genunchiul piciorului din spate, astfel incat tibia sa fie paralela cu podeaua (genunchiul nu trebuie sa atinga solul). Repetati miscarea cu ambele picioare, apoi in lateral.
4. Flotarile
Desi nu sunt usor de executat, flotarile raman unele dintre cele mai eficiente exercitii fizice pentru tonifierea musculaturii intregului corp. Flotarile lucreaza intens muschii pieptului, ai umerilor, tricepsii si muschii trunchiului.
Cu chipul orientat catre podea, sprijiniti-va in bratele flexate, cu palmele asezate la o distanta putin mai mare decat nivelul umerilor. Un alt punct de sprijin sunt degetele mari de la picioare. Daca nu reusiti sa mentineti aceasta pozitie din prima incercare, puteti sa va sprijiniti si genunchii de podea.
Este foarte important ca trupul sa fie in linie dreapta, de la umeri si pana la genunchi si talpi. Pentru a creste eficienta exercitiului, contractati muschii fesieri si abdominali. Indoiti coatele si lasati-va in jos, pana cand ajungeti foarte aproape de sol, apoi ridicati-va in pozitia initiala, folosindu-va de forta bratelor. Faceti eforturi in a mentine trunchiul perfect drept in timpul fiecarei miscari.
5. Abdomenele
La fel de cunoscute si cel putin la fel de eficiente sunt si abdomenele, care pot fi executate in mai multe moduri. Incepeti prin a va intinde pe spate, cu mainile pozitionate la ceafa. Contractati muschii abdominali si, in cadrul unei singure miscari, ridicati capul, gatul, umerii si partea de sus a spatelui, mentinand barbia spre interior. Reveniti in pozitia initiala si repetati miscarea.
Mai puteti efectua abdomenele cu genunchii indoiti si picioarele ridicate paralel cu podeaua. Astfel, cand va ridicati, nu mai aveti posibilitatea sa va arcuiti spatele. Acest exercitiu va lucreaza intens musculatura abdominala, precum si muschii coapselor.
In efectuarea abdomenelor, asigurati-va ca mentineti gatul aliniat perfect cu coloana vertebrala. Respirati normal mentineti coatele in afara campului vizual (astfel incat sa va mentineti pieptul si umerii in pozitia corecta).
6. Aplecarile cu greutati in maini
Pentru acest exercitiu fizic eficient, aveti nevoie de o greutate (preferabil o haltera). Aplecarile cu greutati in maini va lucreaza toti muschii mari ai spatelui superior, precum si bicepsii.
Departati picioarele la nivelul umerilor, indoiti genunchii si aplecati-va in fata, tinand haltera in maini, la nivelul genunchilor. Indoiti coatele si ridicati haltera pana la nivelul abdomenului inferior, mentineti corpul astfel cateva secunde, apoi reveniti la pozitia initiala.
Pentru a va obisnui cu miscarea, efectuati exercitiul fara greutati. De asemenea, va puteti folosi de o banca inclinata pentru sprijinul spatelui.
7. Bicicleta
Un alt exercitiu foarte eficient pentru aproape toate grupele musculare este bicicleta. Intindeti-va pe spate, indoiti genunchii la piept si pozitionati palmele impreunate la ceafa.
Rotiti usor trunchiul spre dreapta, intinzand perfect piciorul stang pe sol. Rotiti apoi trunchiul spre stanga, aducand genunchiul stang la piept si intinzand piciorul drept pe suprafata solului. Concentrati-va in a aduce umarul catre sold, nu catre genunchi. Efectuati cate 10 repetari.
Publicat de la Niciun comentariu:

joi, 5 martie 2015

Discurs(limba română)

    Discurs
Tema: ,, Povara bunătății noastre - o pledoarie pentru rezinstența 
neamului în numele perenității''
     Bună ziua, dragi colegi, și stimată profesoară. Astăzi, am venit în fața voastră pentru a  vă vorbi despre o operă perenă ce promovează valorile naționale, ce ne reprezintă ca popor și ce constituie o pledoarie pentru rezinstența neamului românesc.
 Este vorba de ,,Povara bunătății noastre'' de Ion Druță, care constuie un adevărat tezaur pentru țara Moldovei.
        Ion Druță a fost personalitatea care prin talentul și munca sa, a zugrăvit în sufletele noastre o imagine deosebită a spiritualității neamului,exprimată prin chipuri și acțiuni de valoare.
   Prin harul lui de a scrie cu frumoasele simboluri ca: familia, vatra, pămîntul strămoșesc deducem calitățile promovate de autor prin propriile creații literare.
   Istoria neamului românesc reprezentate de războaiele mondiale și foamete, ocrotirea familiei, a casei părintești care era reprezentată de Nuța, unica moștenitoare a Cărăbușilor și continuitatea generației, demnitatea de a trăi și de a  întemeia o familie, reprezentată de Onache Cărăbuș, cel care cu truda frunții și-a ridicat casa pe un vîrf de deal și nu în ultimul rînd,credința, bunătatea și viața din istoria neamului reprezentată însăși de consătenii Ciuturii.
   Toate aceste valori reprezentate de personajele druțiene sînt statornicia neamului nostru.
Frumoasele valori druțiene mereu ne vor întîlni la vatra strămoșească, unde sînt depozitate de atîțea ani...
      Deci, să nu uităm că valorile spirituale constituie principiul fundamental care formează începutul, baza și realitatea din care decurg toate celelalte lucruri.
Vă mulțtumesc pentru atenție! 



Publicat de la Niciun comentariu:

marți, 3 martie 2015

Tromboflebita(Biologie)

Tromboflebita reprezinta inflamatia unei vene asociata cu tromboza. Tromboza reprezinta formarea unui cheag (trombus) in interiorul sistemului circulator (vase sanguine sau cavitatile cardiace). Cel mai frecvent se intalnestetromboza venoasa, la acest nivel putand exista urmatoarele forme de tromboza: tromboflebita si flebotromboza.
Cauze - Un cheag risca sa se formeze atunci cand o persoana sta prea multa vreme alungita sau imobilizata: de exemplu, ca urmare a unei interventii chirurgicale, mai ales cand aceasta se face pe micul bazin sau pe membre, sau dupa o nastere. El poate aparea, de asemenea, ca urmare a imobilizarii unui membru prin gips sau din cauza unei compresiuni mai mult sau mai putin indelungate a unei vene, de exemplu la femeie la sfarsitul sarcinii sau dupa un zbor prelungit cu avionul fara a parasi scaunul. Tulburari congenitale sau dobandite ale hemostazei (ansamblul fenomenelor fiziologice care conduc la oprirea unei sangerari), ale coagularii sau ale fibrinolizei (dezagregarea fibrinei care antreneaza dizolvarea cheaguri lor sangvine) sunt uneori cauze ale unei flebite.
Simptome si diagnostic - In caz de tromboflebita profunda a unui membru inferior, subiectul sufera dureri spontane sau provocate prin palparea pulpei si simte o senzatie locala de caldura. Gamba se umfla. Aceste semne unilaterale se asociaza eventual cu febra si cu o crestere a ritmului cardiac. Mai rar, cheagul poate privi venele subcutanate. Daca acestea devin tari si sunt inflamate pe una din portiunile lor, este vorba de o flebita superficiala. In ambele cazuri, diagnosticul este confirmat printr-un eco-Doppler venos sau printr-o flebografie. 

Evolutie - Cheagul se poate intinde din aproape in aproape, impiedicand circulatia sangvina. Odata constituit, cheagul poate, de asemenea, sa se fragmenteze sau sa migreze brusc catre vena cava sau catre cavitatile cardiace drepte si sa se opreasca intr-o ramura a arterei pulmonare, ceea ce provoaca o embolie pulmonara. In sfarsit, se constata uneori aparitia unor edeme, a unor tulburari trofice (relative la nutritia tesuturilor), a varicelor, chiar al unui ulcer al gambei, ansamblu de simptome desemnat sub denumirea de boala postflebitica. 

Tratament - Tromboflebitele profunde constituie urgente medicale, al caror tratament trebuie de preferinta sa se faca in mediu spitalicesc. Sunt prescrise anticoagulante. Odata tromboflebita vindecata, membrul afectat este comprimat cu un bandaj elastic numit contentie, astfel ca sa evite aparitia varicelor. O tromboflebita superficiala isi revine dupa un tratament antiinflamator si nu imbraca acelasi caracter de urgenta.

Prevenire - Prevenirea tromboflebitelor este esentiala si consta in masuri simple: contractii musculare voluntare si repetate sub gips, imobilizarea la pat pe o durata limitata (de exemplu, dupa o interventie chirurgicala sau dupa onastere) si utilizarea unui tratament anticoagulant preventiv in toate circumstantele de risc.
Publicat de la Niciun comentariu:

Învață mai ușor capitalele țărilor

http://www.jocuri-friv.ro/joc/1856/tari-orase.html
Publicat de la Niciun comentariu:

Funcționarea inimii


Publicat de la Niciun comentariu:

Alcool (chimie)

În chimie, alcool este orice compus organic hidroxilici cu grupă funcțională hidroxil (-OH) care este legata de un atom de carbon saturat, in starea de hibridizare sp³. Grupahidroxil poate fi legata de o catena saturata, din partea saturata a catenei unei alchene, sau de catena laterala a unei hidrocarburi aromatice. Formula generală pentru un alcool simplu, aciclic, este CnH2n+1OH.
În limbajul curent, termenul de alcool se referă aproape întotdeauna la etanol, cunoscut și ca alcool de cereale, și deseori la orice băutură care conține etanol (vezi băutură alcoolică). Acest sens stă la baza termenului de alcoolism (dependență de alcool). Reținerea de a nu consuma alcool (abstinență), iar legea din SUA din anii 1900 de interzicere a consumului de alcool (prohibiție). Ca medicament, etanolul este cunoscut ca având un efect depresiv, care scade acuitatea reflexelor sistemului nervos central. Alte forme de alcool sunt de obicei denumite cu un adjectiv de rigoare, precum alcool izopropilic sau prin sufixul -ol, ca în izopropanol.
Cuvântul datează din secolul XVI, când a fost folosit pentru se denumi orice substanță la care se ajungea prin sublimare. Acesta derivă din termenul latin medieval alcool ("pudră de stibiu"), originar din arabă al-kuḥūl (الكحول), care este de asemenea sursa termenului kohl și legat de rădăcina k-ḥ-l, atestată în cuvântul arab pentru machiaj.

Structură

Grupa funcțională a unui alcool este grupa hidroxil legată de un atom de carbon hibridizat sp3. Astfel se poate spune că alcoolii sunt derivați ai apei, cu o grupare alchil înlocuind un hidrogen. Dacă o grupare aril este prezentă în locul uneia alchil, compusul se numește fenol. De asemenea, dacă grupa hidroxil este legată de un carbon hibridizat sp2 dintr-o grupă alchenil, compusul de numește enol. Oxigenul dintr-un alcool face un unghi de aproximativ 109° (c.f. 104,5° în apă) și două perechi de electroni libere. Legătura O-H din metanol (CH3OH) are o lungime de aproximativ 96 picometri.

Alcooli primari, secundari și terțiari

Există trei mari categorii de alcooli- 'primari' (1°), 'secundari' (2°) și 'terțiari' (3°), bazate pe numărul de carboni de care este legat carbonul C-OH (evidențiat cu roșu). Metanoluleste cel mai simplu alcool primar. Cel mai simplu alcool secundar este izopropanol (propan-2-ol) și cel mai simplu alcool terțiar este terț-butanol (2-metilpropan-2-ol).

Alcooli saturați, nesaturați și aromatici



Monoalcooli și polialcooli

Alcoolii se mai pot clasifica și după numărul de grupe hidroxil conținute în moleculă. Astfel, există monoalcooli, cu o singură grupă hidroxil (toți cei prezentați mai sus sunt monoalcooli), și polialcooli, cu mai mult de o grupă hidroxil.

Metanol și etanol

Cei mai simpli și cei mai folosiți alcooli sunt metanolul și etanolul (numele comune sunt alcool metilic și alcool etilic), care au structurile de mai sus.
Metanolul se obținea în trecut prin distilarea lemnului, de aceea se numea „alcool de lemn". În prezent, este o substanță chimică la îndemâna oricui, care se produce prin reacția la presiune a monoxidului de carbon cu hidrogenul. În limbajul colocvial, termenul de „alcool" denumește deseori etanolul sau „alcool de cereale". Spirtul metilat, numit și "spirt medicinal", este o formă de etanol devenit necomestibil prin adăugarea de metanol și coloranți de regulă albastru de metil. Pe lângă utilizarea principală în băuturile alcoolice, etanolul este folosit (deși foarte bine controlat) drept solvent industrial și materie primă.

Utilizări

Alcoolii sunt folosiți la scară largă în industrie și știință, drept reactanți, solvenți combustibili. Etanolul și metanolul pot arde creând mai puține substanțe nocive decât benzina saumotorina. Datorită toxicității scăzute și capacității de a dizolva substanțe nepolare, etanolul este folosit deseori ca solvent în medicamente, parfumuri și esențe vegetale, precumvanilia. În sinteza organică, alcoolii apar deseori ca intermediari adaptabili.
Etanolul este, de asemenea, folosit frecvent în băuturi după fermentație pentru a evidenția aromele sau pentru a induce intoxicarea euforică numită "beție". Utilizarea etanolului pentru acest scop este interzisă în unele jurisdicții. În asemenea cazuri de consum, alcoolul este un drog psihoactiv, cu un potențial imediat de supradoză, otrăvire și dependență fiziologică (știută ca alcoolism). Alcoolismul a devenit una dintre cele mai comune cauze de dependență (poate după cafeină) din lume. Dependența fiziologică cauzată de alcoolism înseamnă că persoana dependentă trece prin sevraj (sub forma unei dureri de cap cunoscută ca "mahmureală," unei anxietăți crescute, știută ca "friguri" și oboseală sau probleme cu somnul) la încetarea sau descreșterea folosirii.


Publicat de la Niciun comentariu:

luni, 2 martie 2015

Matrice (matematică)

În matematică, o matrice este un tabel dreptunghiular de numere, sau mai general, de elemente ale unei structuri algebrice de tip inel. Prin generalizare, pot fi definite matrici cele care au mai mult decât 2 dimensiuni, ele numindu-se atunci masive n-dimensionale. Dacă m=n, matricea este pătrată.

Definiție

Se numește matrice cu m linii și n coloane (sau de tip m \times n \!) un tablou cu m linii și n coloane:
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \!
ale cărui elemente a_{ij} \! sunt numere complexe.
Uneori această matrice se notează și A= \left ( a_{ij} \right ), \! unde i = \overline {1, m} \! și j = \overline {1, n}. \! Pentru elementul a_{ij}, \! indicele i arată linia pe care se află elementul, iar al doilea indice, j, indică pe ce coloană este situat.
Mulțimea matricilor de tip m \times n \! cu elemente numere reale se notează prin M_{m, n} (\mathbb R). \! Aceleași semnificații au și mulțimile M_{m, n} (\mathbb Z), M_{m, n} (\mathbb Q), M_{m, n} (\mathbb C). \!

Cazuri particulare

1) O matrice de tipul 1 \times n \! (deci cu o linie și n coloane) se numește matrice linie și are forma:
A= \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{pmatrix} \!
2) O matrice de tipul m \times 1 \! (deci cu m linii și o coloană) se numește matrice coloană și are forma:
B= \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \cdots \\ a_m \end{pmatrix} \!
3) O matrice de tip m \times n \! se numește nulă (zero) dacă toate elementele ei sunt zero. Se notează cu O:
O= \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} \!
4) Dacă numărul de linii este egal cu numărul de coloane, atunci matricea se numește pătrată:
A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \!
Sistemul de elemente (a_{11} \; a_{22} \; \cdots \; a_{nn}) \! reprezintă diagonala principală a matricii A, iar suma acestor elemente se numește urma matricii A notată:
Tr(A)= \sum_{i=1}^n a_{ii}. \!
Mulțimea matricilor pătrate se notează M_n(\mathbb C). \! Printre aceste matrici, una este foarte importantă, aceasta fiind:
I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \!
și se numește matricea unitate (pe diagonala principală are toate elementele egale cu 1, iar în rest sunt egale cu 0).

Egalitatea a două matrici

Definiție. Fie A=(a_{i,j}), B=(b_{i,j}) \in M_{m,n}(C). Se spune că matricile A, B sunt egale și se scrie A=B dacă a_{i,j}=b_{i,j},\forall i,j=\overline{1,n}

Transpusa unei matrici

Definiție. Fie A=(a_{i,j}) \in M_{n,n}(C).
TA=B=(b_{i,j}) \in M_{n,m}(C) dată de:  b_{i,j} = a_{j,i} \forall i=\overline{1,n}; j=\overline{1,m}

Matrice simetrică

Definiție. Fie matricea pătrată A=(a_{i,j}) \in M_{n,n}(C). Spunem că matricea A este simetrică dacă este egală cu transpusa ei: a_{i,j}=a_{j,i},\forall i,j=\overline{1,n}Fie M={1, 2, 3, ..., m} si N={1, 2, 3, ..., n}. A: M x N -> R, A(i,j) = ai,j se numește matrice de tipul (m, n), cu m linii și n coloane.
O matrice care are o dimensiune egală cu 1 se numește vector. O matrice A[1,n] (1 linie și n coloane) se numește vector linie, iar o matrice B[m,1] ( o coloană și m linii) se numește vector coloană. Exemple:
Este o matrice de tipul 4x3. Elementul A[3,1] sau a3,1 este 12. este o matrice de tipul (1, 7) sau vector linie.
O matrice A(m,n) care are m = n se numește matrice pătrată. Deci, o matrice pătrată este matricea care are numărul de linii egal cu numărul de coloane.

Operații cu matrici

Adunarea matricilor

Fie A=(a_{ij}), \; B=(b_{ij}), \; C=(c_{ij}) \in M_{m, n}(\mathbb C). \!
Matricea C se numește suma matricilor A, B dacă:
c_{ij} = a_{ij}+ b_{ij}, \; \forall i=\overline{1, m} , \forall j=\overline{1, n}. \!
Observații.
1) Două matrici se pot aduna dacă sunt de același tip, adică au același număr de linii și același număr de coloane, deci A, B \in M_{m, n} (\mathbb C). \!
2) Explicit, adunarea matricilor A, B înseamnă:
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \end{pmatrix}= \!
= \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n}+ b_{1n} \\ a_{21}+ b_{21} & a_{22}+ b_{22} & \cdots & a_{2n}+ b_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1}+ b_{m1} & a_{m2}+ b_{m2} & \cdots & a_{mn}+ b_{mn} \end{pmatrix}. \!

Proprietăți ale adunării matricilor

A_1 \! (Asociativitatea adunării). Adunarea matricilor este asociativă, adică:
(A+B)+C= A+(B+C), \; \forall A, B, C \in M_{m, n}(\mathbb C). \!
A_2 \! (Comutativitatea adunării). Adunarea matricilor este comutativă, adică:
A+B=B+A, \; \forall A, B \in M_{m, n}(\mathbb C). \!
A_3 \! (Element neutru). Adunarea matricilor admite matricea nulă ca element neutru, adică:
\exists O_{m, n} \in M_{m, n} (\mathbb C) \! astfel încât A+O_{m, n} = A \; \forall A \in M_{m, n}(\mathbb C). \!
A_4 \! (Elemente opuse). Orice matrice A \in M_{m, n}(\mathbb C) \! are un opus, notat -A, \! astfel încât:
A+(-A) = O_{m, n}. \!

Înmulțirea cu scalari a matricilor

Fie \lambda \in \mathbb C \! și A=(a_{ij}) \in M_{m, n} (\mathbb C). \! Se numește produsul dintre scalarul \lambda \in \mathbb C \! și matricea A, matricea notată \lambda A \in M_{m, n} (\mathbb C) \! definită prin \lambda A = (\lambda a_{ij}). \!
Observație
A înmulți o matrice cu un scalar revine la a înmulți toate elementele matricii cu acest scalar. Deci:
\lambda A = \begin{pmatrix} \lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \cdots & \lambda a_{1n} \\ \lambda a_{21} & \lambda a_{22} & \cdots & \lambda a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \lambda a_{m1} & \lambda a_{m2} & \cdots & \lambda a_{mn} \end{pmatrix}. \!

Proprietăți ale înmulțirii matricilor cu scalar

(S_1) \; \; \; \lambda(\mu A) = (\lambda \mu) A, \; \forall \lambda, \mu \in \mathbb C, \; \forall A \in M_{m, n}(\mathbb C); \!
(S_2) \; \; \; \lambda (A+B) = \lambda A+ \lambda B, \; \forall \lambda \in \mathbb C, \; \forall A, B \in M_{m, n}(\mathbb C); \!
(S_3) \; \; \; (\lambda + \mu) A = \lambda A+ \mu A, \; \forall \lambda, \mu \in \mathbb C, \; \forall A \in M_{m, n}(\mathbb C); \!
(S_4) \; \; \; 1 \cdot A = A, \; 1 \in \mathbb C , \; \forall A \in M_{m, n}(\mathbb C). \!

Înmulțirea matricilor

Fie A=(a_{ij}) \in M_{m, n}(\mathbb C), \; B=(b_{ij}) \in M_{m, n}(\mathbb C). \!
Produsul dintre matricile A și B (în această ordine), notat AB \! este matricea C = (c_{ij}) \in M_{m, n}(\mathbb C), \! definită prin:
c_{kj} = \sum_{i=1}^n a_{ki}b_{ij}, \; \forall j = \overline{1, n}. \!
Observații
1) Produsul AB \! a două matrici nu se poate efectua întotdeauna decât dacă A \in M_{m, n} (\mathbb C), B \in M_{n, p} (\mathbb C), \! adică numărul de coloane ale lui A este egal cu numărul de linii ale lui B, când se obține o matrice C=AB \in M_{m, p} (\mathbb C).
2) Dacă matricile sunt pătrate A, B \in M_n (\mathbb C) \! atunci are sens întotdeauna atât AB \! cât și BA , \! iar în general, AB \neq BA \! adică înmulțirea matricilor nu este comutativă.

Proprietățile înmulțirii matricilor

(I_1) \! (Asociativitatea înmulțirii). Înmulțirea matricilor este asociativă, adică:
(AB)C = A(BC), \; \forall A \in M_{m, n} (\mathbb C), \; \forall B \in M_{n , p} (\mathbb C), \; \forall C \in M_{p, r} (\mathbb C), \; \!
(I_2) \! (Distributivitatea înmulțirii față de adunare). Înmulțirea matricilor este distributivă în raport cu adunarea matricilor, adică:
(A+B)C= AC+BC, \; C(A+B)= CA+CB, \; \forall A, B, C \! \! matrici pentru care au sens operațiile de adunare și înmulțire.
(I_3) \! Dacă I_n \in M_{n}(\mathbb C) \! este matricea unitate, atunci:
I_n A = AI_n =A, \; \forall A \in M_n (\mathbb C). \!
spunem că I_n \! este element neutru

Determinanți

Articol principal: Determinant (matematică).
Dacă A = (a_{ij}) \in \mathcal M_n(K), \! este o matrice pătrată cu elemente din K, atunci numărul:
det(A)= \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon (\sigma) a_{1 \sigma(1)} \cdots a_{n \sigma(n)} \!
se numește determinantul lui A.
Publicat de la Niciun comentariu:
Abonați-vă la: Postări (Atom)