luni, 2 martie 2015

Matrice (matematică)

În matematică, o matrice este un tabel dreptunghiular de numere, sau mai general, de elemente ale unei structuri algebrice de tip inel. Prin generalizare, pot fi definite matrici cele care au mai mult decât 2 dimensiuni, ele numindu-se atunci masive n-dimensionale. Dacă m=n, matricea este pătrată.

Definiție

Se numește matrice cu m linii și n coloane (sau de tip m \times n \!) un tablou cu m linii și n coloane:
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \!
ale cărui elemente a_{ij} \! sunt numere complexe.
Uneori această matrice se notează și A= \left ( a_{ij} \right ), \! unde i = \overline {1, m} \! și j = \overline {1, n}. \! Pentru elementul a_{ij}, \! indicele i arată linia pe care se află elementul, iar al doilea indice, j, indică pe ce coloană este situat.
Mulțimea matricilor de tip m \times n \! cu elemente numere reale se notează prin M_{m, n} (\mathbb R). \! Aceleași semnificații au și mulțimile M_{m, n} (\mathbb Z), M_{m, n} (\mathbb Q), M_{m, n} (\mathbb C). \!

Cazuri particulare

1) O matrice de tipul 1 \times n \! (deci cu o linie și n coloane) se numește matrice linie și are forma:
A= \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{pmatrix} \!
2) O matrice de tipul m \times 1 \! (deci cu m linii și o coloană) se numește matrice coloană și are forma:
B= \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \cdots \\ a_m \end{pmatrix} \!
3) O matrice de tip m \times n \! se numește nulă (zero) dacă toate elementele ei sunt zero. Se notează cu O:
O= \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} \!
4) Dacă numărul de linii este egal cu numărul de coloane, atunci matricea se numește pătrată:
A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \!
Sistemul de elemente (a_{11} \; a_{22} \; \cdots \; a_{nn}) \! reprezintă diagonala principală a matricii A, iar suma acestor elemente se numește urma matricii A notată:
Tr(A)= \sum_{i=1}^n a_{ii}. \!
Mulțimea matricilor pătrate se notează M_n(\mathbb C). \! Printre aceste matrici, una este foarte importantă, aceasta fiind:
I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \!
și se numește matricea unitate (pe diagonala principală are toate elementele egale cu 1, iar în rest sunt egale cu 0).

Egalitatea a două matrici

Definiție. Fie A=(a_{i,j}), B=(b_{i,j}) \in M_{m,n}(C). Se spune că matricile A, B sunt egale și se scrie A=B dacă a_{i,j}=b_{i,j},\forall i,j=\overline{1,n}

Transpusa unei matrici

Definiție. Fie A=(a_{i,j}) \in M_{n,n}(C).
TA=B=(b_{i,j}) \in M_{n,m}(C) dată de:  b_{i,j} = a_{j,i} \forall i=\overline{1,n}; j=\overline{1,m}

Matrice simetrică

Definiție. Fie matricea pătrată A=(a_{i,j}) \in M_{n,n}(C). Spunem că matricea A este simetrică dacă este egală cu transpusa ei: a_{i,j}=a_{j,i},\forall i,j=\overline{1,n}Fie M={1, 2, 3, ..., m} si N={1, 2, 3, ..., n}. A: M x N -> R, A(i,j) = ai,j se numește matrice de tipul (m, n), cu m linii și n coloane.
O matrice care are o dimensiune egală cu 1 se numește vector. O matrice A[1,n] (1 linie și n coloane) se numește vector linie, iar o matrice B[m,1] ( o coloană și m linii) se numește vector coloană. Exemple:
Este o matrice de tipul 4x3. Elementul A[3,1] sau a3,1 este 12. este o matrice de tipul (1, 7) sau vector linie.
O matrice A(m,n) care are m = n se numește matrice pătrată. Deci, o matrice pătrată este matricea care are numărul de linii egal cu numărul de coloane.

Operații cu matrici

Adunarea matricilor

Fie A=(a_{ij}), \; B=(b_{ij}), \; C=(c_{ij}) \in M_{m, n}(\mathbb C). \!
Matricea C se numește suma matricilor A, B dacă:
c_{ij} = a_{ij}+ b_{ij}, \; \forall i=\overline{1, m} , \forall j=\overline{1, n}. \!
Observații.
1) Două matrici se pot aduna dacă sunt de același tip, adică au același număr de linii și același număr de coloane, deci A, B \in M_{m, n} (\mathbb C). \!
2) Explicit, adunarea matricilor A, B înseamnă:
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \end{pmatrix}= \!
= \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n}+ b_{1n} \\ a_{21}+ b_{21} & a_{22}+ b_{22} & \cdots & a_{2n}+ b_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1}+ b_{m1} & a_{m2}+ b_{m2} & \cdots & a_{mn}+ b_{mn} \end{pmatrix}. \!

Proprietăți ale adunării matricilor

A_1 \! (Asociativitatea adunării). Adunarea matricilor este asociativă, adică:
(A+B)+C= A+(B+C), \; \forall A, B, C \in M_{m, n}(\mathbb C). \!
A_2 \! (Comutativitatea adunării). Adunarea matricilor este comutativă, adică:
A+B=B+A, \; \forall A, B \in M_{m, n}(\mathbb C). \!
A_3 \! (Element neutru). Adunarea matricilor admite matricea nulă ca element neutru, adică:
\exists O_{m, n} \in M_{m, n} (\mathbb C) \! astfel încât A+O_{m, n} = A \; \forall A \in M_{m, n}(\mathbb C). \!
A_4 \! (Elemente opuse). Orice matrice A \in M_{m, n}(\mathbb C) \! are un opus, notat -A, \! astfel încât:
A+(-A) = O_{m, n}. \!

Înmulțirea cu scalari a matricilor

Fie \lambda \in \mathbb C \! și A=(a_{ij}) \in M_{m, n} (\mathbb C). \! Se numește produsul dintre scalarul \lambda \in \mathbb C \! și matricea A, matricea notată \lambda A \in M_{m, n} (\mathbb C) \! definită prin \lambda A = (\lambda a_{ij}). \!
Observație
A înmulți o matrice cu un scalar revine la a înmulți toate elementele matricii cu acest scalar. Deci:
\lambda A = \begin{pmatrix} \lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \cdots & \lambda a_{1n} \\ \lambda a_{21} & \lambda a_{22} & \cdots & \lambda a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \lambda a_{m1} & \lambda a_{m2} & \cdots & \lambda a_{mn} \end{pmatrix}. \!

Proprietăți ale înmulțirii matricilor cu scalar

(S_1) \; \; \; \lambda(\mu A) = (\lambda \mu) A, \; \forall \lambda, \mu \in \mathbb C, \; \forall A \in M_{m, n}(\mathbb C); \!
(S_2) \; \; \; \lambda (A+B) = \lambda A+ \lambda B, \; \forall \lambda \in \mathbb C, \; \forall A, B \in M_{m, n}(\mathbb C); \!
(S_3) \; \; \; (\lambda + \mu) A = \lambda A+ \mu A, \; \forall \lambda, \mu \in \mathbb C, \; \forall A \in M_{m, n}(\mathbb C); \!
(S_4) \; \; \; 1 \cdot A = A, \; 1 \in \mathbb C , \; \forall A \in M_{m, n}(\mathbb C). \!

Înmulțirea matricilor

Fie A=(a_{ij}) \in M_{m, n}(\mathbb C), \; B=(b_{ij}) \in M_{m, n}(\mathbb C). \!
Produsul dintre matricile A și B (în această ordine), notat AB \! este matricea C = (c_{ij}) \in M_{m, n}(\mathbb C), \! definită prin:
c_{kj} = \sum_{i=1}^n a_{ki}b_{ij}, \; \forall j = \overline{1, n}. \!
Observații
1) Produsul AB \! a două matrici nu se poate efectua întotdeauna decât dacă A \in M_{m, n} (\mathbb C), B \in M_{n, p} (\mathbb C), \! adică numărul de coloane ale lui A este egal cu numărul de linii ale lui B, când se obține o matrice C=AB \in M_{m, p} (\mathbb C).
2) Dacă matricile sunt pătrate A, B \in M_n (\mathbb C) \! atunci are sens întotdeauna atât AB \! cât și BA , \! iar în general, AB \neq BA \! adică înmulțirea matricilor nu este comutativă.

Proprietățile înmulțirii matricilor

(I_1) \! (Asociativitatea înmulțirii). Înmulțirea matricilor este asociativă, adică:
(AB)C = A(BC), \; \forall A \in M_{m, n} (\mathbb C), \; \forall B \in M_{n , p} (\mathbb C), \; \forall C \in M_{p, r} (\mathbb C), \; \!
(I_2) \! (Distributivitatea înmulțirii față de adunare). Înmulțirea matricilor este distributivă în raport cu adunarea matricilor, adică:
(A+B)C= AC+BC, \; C(A+B)= CA+CB, \; \forall A, B, C \! \! matrici pentru care au sens operațiile de adunare și înmulțire.
(I_3) \! Dacă I_n \in M_{n}(\mathbb C) \! este matricea unitate, atunci:
I_n A = AI_n =A, \; \forall A \in M_n (\mathbb C). \!
spunem că I_n \! este element neutru

Determinanți

Articol principal: Determinant (matematică).
Dacă A = (a_{ij}) \in \mathcal M_n(K), \! este o matrice pătrată cu elemente din K, atunci numărul:
det(A)= \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon (\sigma) a_{1 \sigma(1)} \cdots a_{n \sigma(n)} \!
se numește determinantul lui A.
Publicat de la

Niciun comentariu:

Trimiteți un comentariu

Abonați-vă la: Postare comentarii (Atom)