luni, 2 martie 2015

Matrice (matematică)

În matematică, o matrice este un tabel dreptunghiular de numere, sau mai general, de elemente ale unei structuri algebrice de tip inel. Prin generalizare, pot fi definite matrici cele care au mai mult decât 2 dimensiuni, ele numindu-se atunci masive n-dimensionale. Dacă m=n, matricea este pătrată.

Definiție

Se numește matrice cu m linii și n coloane (sau de tip m \times n \!) un tablou cu m linii și n coloane:
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \!
ale cărui elemente a_{ij} \! sunt numere complexe.
Uneori această matrice se notează și A= \left ( a_{ij} \right ), \! unde i = \overline {1, m} \! și j = \overline {1, n}. \! Pentru elementul a_{ij}, \! indicele i arată linia pe care se află elementul, iar al doilea indice, j, indică pe ce coloană este situat.
Mulțimea matricilor de tip m \times n \! cu elemente numere reale se notează prin M_{m, n} (\mathbb R). \! Aceleași semnificații au și mulțimile M_{m, n} (\mathbb Z), M_{m, n} (\mathbb Q), M_{m, n} (\mathbb C). \!

Cazuri particulare

1) O matrice de tipul 1 \times n \! (deci cu o linie și n coloane) se numește matrice linie și are forma:
A= \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{pmatrix} \!
2) O matrice de tipul m \times 1 \! (deci cu m linii și o coloană) se numește matrice coloană și are forma:
B= \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \cdots \\ a_m \end{pmatrix} \!
3) O matrice de tip m \times n \! se numește nulă (zero) dacă toate elementele ei sunt zero. Se notează cu O:
O= \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} \!
4) Dacă numărul de linii este egal cu numărul de coloane, atunci matricea se numește pătrată:
A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \!
Sistemul de elemente (a_{11} \; a_{22} \; \cdots \; a_{nn}) \! reprezintă diagonala principală a matricii A, iar suma acestor elemente se numește urma matricii A notată:
Tr(A)= \sum_{i=1}^n a_{ii}. \!
Mulțimea matricilor pătrate se notează M_n(\mathbb C). \! Printre aceste matrici, una este foarte importantă, aceasta fiind:
I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \!
și se numește matricea unitate (pe diagonala principală are toate elementele egale cu 1, iar în rest sunt egale cu 0).

Egalitatea a două matrici

Definiție. Fie A=(a_{i,j}), B=(b_{i,j}) \in M_{m,n}(C). Se spune că matricile A, B sunt egale și se scrie A=B dacă a_{i,j}=b_{i,j},\forall i,j=\overline{1,n}

Transpusa unei matrici

Definiție. Fie A=(a_{i,j}) \in M_{n,n}(C).
TA=B=(b_{i,j}) \in M_{n,m}(C) dată de:  b_{i,j} = a_{j,i} \forall i=\overline{1,n}; j=\overline{1,m}

Matrice simetrică

Definiție. Fie matricea pătrată A=(a_{i,j}) \in M_{n,n}(C). Spunem că matricea A este simetrică dacă este egală cu transpusa ei: a_{i,j}=a_{j,i},\forall i,j=\overline{1,n}Fie M={1, 2, 3, ..., m} si N={1, 2, 3, ..., n}. A: M x N -> R, A(i,j) = ai,j se numește matrice de tipul (m, n), cu m linii și n coloane.
O matrice care are o dimensiune egală cu 1 se numește vector. O matrice A[1,n] (1 linie și n coloane) se numește vector linie, iar o matrice B[m,1] ( o coloană și m linii) se numește vector coloană. Exemple:
Este o matrice de tipul 4x3. Elementul A[3,1] sau a3,1 este 12. este o matrice de tipul (1, 7) sau vector linie.
O matrice A(m,n) care are m = n se numește matrice pătrată. Deci, o matrice pătrată este matricea care are numărul de linii egal cu numărul de coloane.

Operații cu matrici

Adunarea matricilor

Fie A=(a_{ij}), \; B=(b_{ij}), \; C=(c_{ij}) \in M_{m, n}(\mathbb C). \!
Matricea C se numește suma matricilor A, B dacă:
c_{ij} = a_{ij}+ b_{ij}, \; \forall i=\overline{1, m} , \forall j=\overline{1, n}. \!
Observații.
1) Două matrici se pot aduna dacă sunt de același tip, adică au același număr de linii și același număr de coloane, deci A, B \in M_{m, n} (\mathbb C). \!
2) Explicit, adunarea matricilor A, B înseamnă:
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \end{pmatrix}= \!
= \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n}+ b_{1n} \\ a_{21}+ b_{21} & a_{22}+ b_{22} & \cdots & a_{2n}+ b_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1}+ b_{m1} & a_{m2}+ b_{m2} & \cdots & a_{mn}+ b_{mn} \end{pmatrix}. \!

Proprietăți ale adunării matricilor

A_1 \! (Asociativitatea adunării). Adunarea matricilor este asociativă, adică:
(A+B)+C= A+(B+C), \; \forall A, B, C \in M_{m, n}(\mathbb C). \!
A_2 \! (Comutativitatea adunării). Adunarea matricilor este comutativă, adică:
A+B=B+A, \; \forall A, B \in M_{m, n}(\mathbb C). \!
A_3 \! (Element neutru). Adunarea matricilor admite matricea nulă ca element neutru, adică:
\exists O_{m, n} \in M_{m, n} (\mathbb C) \! astfel încât A+O_{m, n} = A \; \forall A \in M_{m, n}(\mathbb C). \!
A_4 \! (Elemente opuse). Orice matrice A \in M_{m, n}(\mathbb C) \! are un opus, notat -A, \! astfel încât:
A+(-A) = O_{m, n}. \!

Înmulțirea cu scalari a matricilor

Fie \lambda \in \mathbb C \! și A=(a_{ij}) \in M_{m, n} (\mathbb C). \! Se numește produsul dintre scalarul \lambda \in \mathbb C \! și matricea A, matricea notată \lambda A \in M_{m, n} (\mathbb C) \! definită prin \lambda A = (\lambda a_{ij}). \!
Observație
A înmulți o matrice cu un scalar revine la a înmulți toate elementele matricii cu acest scalar. Deci:
\lambda A = \begin{pmatrix} \lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \cdots & \lambda a_{1n} \\ \lambda a_{21} & \lambda a_{22} & \cdots & \lambda a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \lambda a_{m1} & \lambda a_{m2} & \cdots & \lambda a_{mn} \end{pmatrix}. \!

Proprietăți ale înmulțirii matricilor cu scalar

(S_1) \; \; \; \lambda(\mu A) = (\lambda \mu) A, \; \forall \lambda, \mu \in \mathbb C, \; \forall A \in M_{m, n}(\mathbb C); \!
(S_2) \; \; \; \lambda (A+B) = \lambda A+ \lambda B, \; \forall \lambda \in \mathbb C, \; \forall A, B \in M_{m, n}(\mathbb C); \!
(S_3) \; \; \; (\lambda + \mu) A = \lambda A+ \mu A, \; \forall \lambda, \mu \in \mathbb C, \; \forall A \in M_{m, n}(\mathbb C); \!
(S_4) \; \; \; 1 \cdot A = A, \; 1 \in \mathbb C , \; \forall A \in M_{m, n}(\mathbb C). \!

Înmulțirea matricilor

Fie A=(a_{ij}) \in M_{m, n}(\mathbb C), \; B=(b_{ij}) \in M_{m, n}(\mathbb C). \!
Produsul dintre matricile A și B (în această ordine), notat AB \! este matricea C = (c_{ij}) \in M_{m, n}(\mathbb C), \! definită prin:
c_{kj} = \sum_{i=1}^n a_{ki}b_{ij}, \; \forall j = \overline{1, n}. \!
Observații
1) Produsul AB \! a două matrici nu se poate efectua întotdeauna decât dacă A \in M_{m, n} (\mathbb C), B \in M_{n, p} (\mathbb C), \! adică numărul de coloane ale lui A este egal cu numărul de linii ale lui B, când se obține o matrice C=AB \in M_{m, p} (\mathbb C).
2) Dacă matricile sunt pătrate A, B \in M_n (\mathbb C) \! atunci are sens întotdeauna atât AB \! cât și BA , \! iar în general, AB \neq BA \! adică înmulțirea matricilor nu este comutativă.

Proprietățile înmulțirii matricilor

(I_1) \! (Asociativitatea înmulțirii). Înmulțirea matricilor este asociativă, adică:
(AB)C = A(BC), \; \forall A \in M_{m, n} (\mathbb C), \; \forall B \in M_{n , p} (\mathbb C), \; \forall C \in M_{p, r} (\mathbb C), \; \!
(I_2) \! (Distributivitatea înmulțirii față de adunare). Înmulțirea matricilor este distributivă în raport cu adunarea matricilor, adică:
(A+B)C= AC+BC, \; C(A+B)= CA+CB, \; \forall A, B, C \! \! matrici pentru care au sens operațiile de adunare și înmulțire.
(I_3) \! Dacă I_n \in M_{n}(\mathbb C) \! este matricea unitate, atunci:
I_n A = AI_n =A, \; \forall A \in M_n (\mathbb C). \!
spunem că I_n \! este element neutru

Determinanți

Articol principal: Determinant (matematică).
Dacă A = (a_{ij}) \in \mathcal M_n(K), \! este o matrice pătrată cu elemente din K, atunci numărul:
det(A)= \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon (\sigma) a_{1 \sigma(1)} \cdots a_{n \sigma(n)} \!
se numește determinantul lui A.
Publicat de la Niciun comentariu:

marți, 27 ianuarie 2015

Franța


Franța este o țară veche, formată în Evul Mediu feudal, și își trage numele de la poporul franc. De la începutul secolului al XVII-lea și până în prima jumătate a secolului al XX-lea, a posedat un vast imperiu colonial. Începând cu anii 1950, s-a angrenat înconstrucția Uniunii Europene. Ea este o putere nucleară, este unul dintre cei cinci membri permanenți ai Consiliului de Securitate al Națiunilor Unite și membru NATO. 


Capitală
(și cel mai mare oraș)Paris
48°51.4′N 02°21.05′ELimbi oficialeFrancezaEtnonimFranceziAderare UE25 martie 1957Sistem politicRepublică - PreședinteFrançois Hollande - Primul-MinistruManuel VallsIndependență - Regatul Franței843  - Republica Franceză22 septembrie 1792  - Constituția actuală4 octombrie 1958 Suprafață - Total674,843 km² (locul 41) - Apă (%)0,26%Populație - Estimare 201466.600.000[a][I 1] (locul 20) - Densitate103,8 loc/km² (locul 89)PIB (PPC)estimări 2014 - Total$2,337 trilioane[1]  - Pe cap de locuitor$36.537[1] (locul 23)PIB (nominal)estimări 2014 - Total$2,886 trilioane[1] (locul 5) - Pe cap de locuitor$45.123[1] (locul 19)Gini (2008)[3]32,7 (mediu) IDU (2013)[4]0,884 (foarte înalt) (locul 20)MonedăEuro (EUR)1Franc CFP[2]
(EUR · XPF)Prefix telefonic+33Domeniu Internet.fr .eu3Fus orarUTC+12

Cele mai mari orașe din Franța
[I 3][I 4]
LocNumele orașuluiRegiunePop.LocNumele orașuluiRegiunePop.
Paris
Paris
1ParisÎle-de-France12.223.10011GrenobleRon-Alpi669.595Marsilia
Marsilia
2LyonRon-Alpi2.165.78512RouenNormandia Superioară652.898
3MarsiliaProvence-Alpi-Coasta de Azur1.718.28113ToulonProvence-Alpi-Coasta de Azur606.947
4ToulouseMidi-Pirinei1.232.39814MontpellierLanguedoc-Roussillon549.491
5LilleNord-Pas de Calais1.158.30615LensNord-Pas de Calais542.918
6BordeauxAquitania1.127.77616AvignonProvence-Alpi-Coasta de Azur511.277
7NisaProvence-Alpi-Coasta de Azur1.001.29517Saint-ÉtienneRon-Alpi508.847
8NantesPays de la Loire873.13318ToursCentru477.438
9StrasbourgAlsacia761.04219Clermont-FerrandAuvergne463.891
10RennesBretania671.84520NancyLorena434.948



http://ro.wikipedia.org/wiki/Fran%C8%9Ba
Publicat de la Niciun comentariu:

duminică, 25 ianuarie 2015

Regimurile politice în Europa

Ku Klux Klan

Ku Klux Klan este numele sub care sunt cunoscute mai multe organizații rasiste extremiste, dintre care prima a apărut după Războiul Civil American în 1865 în statul Tennessee (SUA). Membrii acestor organizații susțin superioritatea rasei albe și își exprimă adesea cu violență atitudinea de antisemitism, anticatolicism, homofobie etc.
Scopurile inițiale ale organizației erau aparent nobile: "protejarea celor nevinovați și neajutorați" și "ajutorarea celor oprimați". Două elemente au fost încă de la început îngrijorătoare: organizația se autointitula "Statul Invizibil", Klanul îi considera pe albi superiori populației de culoare. Din cauza acestei adversități fața de negri, organizația nu s-a putut împăca cu faptul că după Războiul de Secesiune, foștii sclavi obținuseră drepturi egale cu populația albă. Prin urmare membrii Ku Klux Klan-ului au trecut la invadarea satelor și orașelor, torturând și ucigând fără a suferi vreo pedeapsă. Oficial organizația s-a dizolvat în1869, dar diferite grupări locale au continuat să terorizeze populația de culoare.Denumirea vine probabil din cuvântul grecesc kyklos, însemnând cerc, și cuvântul clan.
În 1915 Klanul a fost reactivat în Georgia. De această dată, victimele terorii organizației erau toți cei bănuiți de liberalism, ei primind un avertisment sub forma unei cruci în flăcări. A doua dizolvare a avut loc în 1944.
Deși în SUA populația începuse să uite de Klan, la mijlocul anilor 90 organizația s-a reactivat din nou, incendiind bisericile populației de culoare, dar acțiunile sale au avut doar un caracter local.


In existence
Primul Klan1865–1870
Al doilea Klan1915–1944
Al treilea Klandin 1946
Membrii
Primul Klan550,000
Al doilea Klanîntre 3 și 6 milioane[1] (perioada 1920–1925 )
Caracteristici
OrigineStatele Unite ale Americii
Ideologie politicăSupremația albă
Naționalismul albilor
Anti-imigrare
Terorismul Creștin[2][3]
Naționalism American
Poziție politicăExtremă dreapta
ReligieProtestantism[2]
Publicat de la Niciun comentariu:

marți, 6 ianuarie 2015

Crăciun Fericit

 Fie ca aroma de brad, portocale, colindele, cozonacul cald și mirosul de iarnă să vă umple inimile de bucurie și sufletele de liniște. Crăciun Fericit tuturor!
Publicat de la Niciun comentariu:

luni, 22 decembrie 2014

Secrete ale matematicii


Publicat de la Niciun comentariu:

luni, 15 decembrie 2014

Luceafărul

A fost odată ca-n poveşti,
A fost ca niciodată.
Din rude mari împărăteşti,
O prea frumoasă fată.

Şi era una la părinţi
Şi mândră-n toate cele,
Cum e Fecioara între sfinţi
Şi luna între stele.

Din umbra falnicelor bolţi
Ea pasul şi-l îndreaptă
Lângă fereastră, unde-n colţ
Luceafărul aşteaptă.

Privea în zare cum pe mări
Răsare şi străluce,
Pe mişcătoarele cărări
Corăbii negre duce.

Îl vede azi, îl vede mâini,
Astfel dorinţa-i gata;
El iar, privind de săptămâni,
Îi cade draga fată.

Cum ea pe coate-şi răzima
Visând ale ei tâmple,
De dorul lui şi inima
Şi sufletu-i se împle.

Şi cât de viu s-aprinde el
În orişicare sară,
Spre umbra negrului castel
Când ea o să-i apară.

...

Şi pas cu pas pe urma ei
Alunecă-n odaie,
Ţesând cu recile-i scântei
O mreajă de văpaie.

Şi când în pat se-ntinde drept
Copila să se culce,
I-atinge mâinile pe piept,
I-nchide geana dulce;

Şi din oglindă luminiş
Pe trupu-i se revarsă,
Pe ochii mari, bătând închişi
Pe faţa ei întoarsă.

Ea îl privea cu un surâs,
El tremura-n oglindă,
Căci o urma adânc în vis
De suflet să se prindă.

Iar ea vorbind cu el în somn,
Oftând din greu suspină:
- O, dulce-al nopţii mele domn,
De ce nu vii tu? Vină!

Cobori în jos, luceafăr blând,
Alunecând pe-o rază,
Pătrunde-n casă şi în gând
Şi viaţa-mi luminează!

El asculta tremurător,
Se aprindea mai tare
Şi s-arunca fulgerător,
Se cufunda în mare;

Şi apa unde-au fost căzut
În cercuri se roteşte,
Şi din adânc necunoscut
Un mândru tânăr creşte.

Uşor el trece ca pe prag
Pe marginea ferestei
Şi ţine-n mână un toiag
Încununat cu trestii.

Părea un tânăr voievod
Cu păr de aur moale,
Un vânăt giulgi se-ncheie nod
Pe umerele goale.

Iar umbra feţei străvezii
E albă ca de ceară -
Un mort frumos cu ochii vii
Ce scânteie-n afară.

- Din sfera mea venii cu greu
Ca să-ţi urmez chemarea,
Iar cerul este tatăl meu
Şi mumă-mea e marea.

Ca în cămara ta să vin,
Să te privesc de-aproape,
Am coborât cu-al meu senin
Şi m-am născut din ape.

O, vin'! odorul meu nespus,
Şi lumea ta o lasă;
Eu sunt luceafărul de sus,
Iar tu să-mi fii mireasă.

Colo-n palate de mărgean
Te-oi duce veacuri multe,
Şi toată lumea-n ocean
De tine o s-asculte.

- O, eşti frumos, cum numa-n vis
Un înger se arată,
Dară pe calea ce-ai deschis
N-oi merge niciodată;

Străin la vorbă şi la port,
Luceşti fără de viaţă,
Căci eu sunt vie, tu eşti mort,
Şi ochiul tău mă-ngheaţă.
Publicat de la Niciun comentariu:

duminică, 7 decembrie 2014

Familiale




La mère fait du tricot
Le fils fait la guerre
Elle trouve ça tout naturel la mère
Et le père qu'est-ce qu'il fait le père ?
Il fait des affaires
Sa femme fait du tricot
Son fils la guerre
Lui des affaires
Il trouve ça tout naturel le père
Et le fils et le fils
Qu'est-ce qu'il trouve le fils ?
Il ne trouve rien absolument rien le fils
Le fils sa mère fait du tricot son père fait des affaires lui la guerre
Quand il aura fini la guerre
Il fera des affaires avec son père
La guerre continue la mère continue elle tricote
Le père continue il fait des affaires
Le fils est tué il ne continue plus
Le père et la mère vont au cimetière
Ils trouvent ça naturel le père et la mère
La vie continue la vie avec le tricot la guerre les affaires
Les affaires la guerre le tricot la guerre
Les affaires les affaires et les affaires
La vie avec le cimetière.
Publicat de la Niciun comentariu:
Abonați-vă la: Postări (Atom)